Local limits of uniform triangulations in high genus

We prove a conjecture of Benjamini and Curien stating that the local limits of uniform random triangulations whose genus is proportional to the number of faces are the Planar Stochastic Hyperbolic Triangulations (PSHT) defined in arXiv:1401.3297. The proof relies on a combinatorial argument and the Goulden--Jackson recurrence relation to obtain tightness, and probabilistic arguments showing the uniqueness of the limit. As a consequence, we obtain asymptotics up to subexponential factors on the number of triangulations when both the size and the genus go to infinity. As a part of our proof, we also obtain the following result of independent interest: if a random triangulation of the plane $T$ is weakly Markovian in the sense that the probability to observe a finite triangulation $t$ around the root only depends on the perimeter and volume of $t$, then $T$ is a mixture of PSHT.Comment: 36 pages, 10 figure

Fast model updating coupling Bayesian inference and PGD model reduction

International audienceThe paper focuses on a coupled Bayesian-Proper Generalized Decomposition (PGD) approach for the real-time identification and updating of numerical models. The purpose is to use the most general case of Bayesian inference theory in order to address inverse problems and to deal with different sources of uncertainties (measurement and model errors, stochastic parameters). In order to do so with a reasonable CPU cost, the idea is to replace the direct model called for Monte-Carlo sampling by a PGD reduced model, and in some cases directly compute the probability density functions from the obtained analytical formulation. This procedure is first applied to a welding control example with the updating of a deterministic parameter. In the second application, the identification of a stochastic parameter is studied through a glued assembly example

A922 Sequential measurement of 1 hour creatinine clearance (1-CRCL) in critically ill patients at risk of acute kidney injury (AKI)

Meeting abstrac

Cartes de grand genre : de la hiérarchie KP aux limites probabilistes

This thesis focuses on combinatorial maps, which are defined as embeddings of graphs on surfaces, or equivalently as gluing of polygons. The genus g of the map is defined as the number of handles of the surface on which it is embedded.In addition to being combinatorial objects, the maps can be represented as factorizations of permutations, which also makes them algebraic objects, which one can study in particular thanks to the representation theory of the symmetric group. In particular, these algebraic properties of maps mean that their generating series satisfies the KP hierarchy (and its generalization, the 2-Toda hierarchy). The KP hierarchy is an infinite set of partial differential equations in an infinity of variables. The partial differential equations of the KP hierarchy are then translated into recurrence formulas which make it possible to enumerate maps of any genus.On the other hand, it is interesting to study the geometric properties of maps, and in particular very large random maps. Many works have focused on the geometrical properties of planar maps, ie of genus 0. In this thesis, we study maps of large genus, that is to say whose genus tends towards infinity at the same time as the size of the map. What will particularly interest us is the notion of local limit, which describes the law of the neighborhood of a particular point (the root) of large uniform random maps.The first part of this thesis (Chapters 1 to 3) is an introduction to all the necessary concepts: maps, of course, but also the KP hierarchy and local limits. In a second part (Chapters 4 and 5), we will seek to deepen the relationship between maps and KP hierarchy, either by explaining existing formulas by combinatorial constructions, or by discovering new formulas. The third part (Chapters 6 and 7) focuses on the study of the local limits of large maps, using in particular the results obtained from the KP hier-archy. Finally the manuscript ends with some open problems (Chapter 8).Cette thèse s’intéresse aux cartes combinatoires, qui sont définies comme des plongements de graphes sur des surfaces, ou de manière équivalente comme des recollements de polygones. Le genre g de la carte est défini comme le nombre d’anses que possède la surface sur laquelle elle est plongée.En plus d’être des objets combinatoires, les cartes peuvent être représentées comme des factorisations de permutations, ce qui en fait également des objets algébriques, qu’on peut notamment étudier grâce à la théorie des représentations du groupe symétrique. En particulier, ces propriétés algébriques des cartes font que leur série génératrice satisfait la hiérarchie KP (et sa généralisation, la hiérarchie 2-Toda). La hiérarchie KP est un ensemble infini d’équations aux dérivées partielles en une infinité de variables. Les équations aux dérivées partielles de la hiérarchie KP se traduisent ensuite en formules de récurence qui permettent d’énumérer les cartes en tout genre.D’autre part, il est intéressant d’étudier les propriétés géométriques des cartes, et en particulier des très grandes cartes aléatoires. De nombreux travaux ont permis d’étudier les propriétés géométriques des cartes planaires, c’est à dire de genre 0. Dans cette thèse, on étudie les cartes de grand genre, c’est à dire dont le genre tend vers l’infini en même temps que la taille de la carte. Ce qui nous intéressera particulièrement est la notion de limite locale, qui décrit la loi du voisinage d’un point particulier (la racine) des grandes cartes aléatoires uniformes.La première partie de cette thèse (Chapitres 1 à 3) est une introduction à toutes les notions nécessaires : les cartes, bien entendu, mais également la hiérarchie KP et les limites locales. Dans un deuxième temps (Chapitres 4 et 5), on cherchera à approfondir la relation entre cartes et hiérarchie KP, soit en expliquant des formules existantes par des constructions combinatoires, soit en découvrant de nouvelles formules. La troisième partie (Chapitres 6 et 7) se concentre sur l’étude des limites locales des cartes de grand genre, en s’aidant notamment de résultats obtenus grâce à la hiérarchie KP. Enfin le manuscrit se conclut par quelques problèmes ouverts (Chapitre 8)

High genus maps : from the KP hierarchy to probabilistic limits

Cette thèse s’intéresse aux cartes combinatoires, qui sont définies comme des plongements de graphes sur des surfaces, ou de manière équivalente comme des recollements de polygones. Le genre g de la carte est défini comme le nombre d’anses que possède la surface sur laquelle elle est plongée.En plus d’être des objets combinatoires, les cartes peuvent être représentées comme des factorisations de permutations, ce qui en fait également des objets algébriques, qu’on peut notamment étudier grâce à la théorie des représentations du groupe symétrique. En particulier, ces propriétés algébriques des cartes font que leur série génératrice satisfait la hiérarchie KP (et sa généralisation, la hiérarchie 2-Toda). La hiérarchie KP est un ensemble infini d’équations aux dérivées partielles en une infinité de variables. Les équations aux dérivées partielles de la hiérarchie KP se traduisent ensuite en formules de récurence qui permettent d’énumérer les cartes en tout genre.D’autre part, il est intéressant d’étudier les propriétés géométriques des cartes, et en particulier des très grandes cartes aléatoires. De nombreux travaux ont permis d’étudier les propriétés géométriques des cartes planaires, c’est à dire de genre 0. Dans cette thèse, on étudie les cartes de grand genre, c’est à dire dont le genre tend vers l’infini en même temps que la taille de la carte. Ce qui nous intéressera particulièrement est la notion de limite locale, qui décrit la loi du voisinage d’un point particulier (la racine) des grandes cartes aléatoires uniformes.La première partie de cette thèse (Chapitres 1 à 3) est une introduction à toutes les notions nécessaires : les cartes, bien entendu, mais également la hiérarchie KP et les limites locales. Dans un deuxième temps (Chapitres 4 et 5), on cherchera à approfondir la relation entre cartes et hiérarchie KP, soit en expliquant des formules existantes par des constructions combinatoires, soit en découvrant de nouvelles formules. La troisième partie (Chapitres 6 et 7) se concentre sur l’étude des limites locales des cartes de grand genre, en s’aidant notamment de résultats obtenus grâce à la hiérarchie KP. Enfin le manuscrit se conclut par quelques problèmes ouverts (Chapitre 8).This thesis focuses on combinatorial maps, which are defined as embeddings of graphs on surfaces, or equivalently as gluing of polygons. The genus g of the map is defined as the number of handles of the surface on which it is embedded.In addition to being combinatorial objects, the maps can be represented as factorizations of permutations, which also makes them algebraic objects, which one can study in particular thanks to the representation theory of the symmetric group. In particular, these algebraic properties of maps mean that their generating series satisfies the KP hierarchy (and its generalization, the 2-Toda hierarchy). The KP hierarchy is an infinite set of partial differential equations in an infinity of variables. The partial differential equations of the KP hierarchy are then translated into recurrence formulas which make it possible to enumerate maps of any genus.On the other hand, it is interesting to study the geometric properties of maps, and in particular very large random maps. Many works have focused on the geometrical properties of planar maps, ie of genus 0. In this thesis, we study maps of large genus, that is to say whose genus tends towards infinity at the same time as the size of the map. What will particularly interest us is the notion of local limit, which describes the law of the neighborhood of a particular point (the root) of large uniform random maps.The first part of this thesis (Chapters 1 to 3) is an introduction to all the necessary concepts: maps, of course, but also the KP hierarchy and local limits. In a second part (Chapters 4 and 5), we will seek to deepen the relationship between maps and KP hierarchy, either by explaining existing formulas by combinatorial constructions, or by discovering new formulas. The third part (Chapters 6 and 7) focuses on the study of the local limits of large maps, using in particular the results obtained from the KP hier-archy. Finally the manuscript ends with some open problems (Chapter 8)

Simple formulas for constellations and bipartite maps with prescribed degrees

We obtain simple quadratic recurrence formulas counting bipartite maps on surfaces with prescribed degrees (in particular, $2k$-angulations), and constellations. These formulas are the fastest known way of computing these numbers. Our work is a natural extension of previous works on integrable hierarchies (2-Toda and KP), namely the Pandharipande recursion for Hurwitz numbers (proven by Okounkov and simplified by Dubrovin-Yang-Zagier), as well as formulas for several models of maps (Goulden-Jackson, Carrell-Chapuy, Kazarian-Zograf). As for those formulas, a bijective interpretation is still to be found. We also include a formula for monotone simple Hurwitz numbers derived in the same fashion. These formulas also play a key role in subsequent work of the author with T. Budzinski establishing the hyperbolic local limit of random bipartite maps of large genus

Random Partitions Under the Plancherel-Hurwitz Measure, High Genus Hurwitz Numbers and Maps

We study the asymptotic behaviour of random integer partitions under a new probability law that we introduce, the Plancherel-Hurwitz measure. This distribution, which has a natural definition in terms of Young tableaux, is a deformation of the classical Plancherel measure. It appears naturally in the enumeration of Hurwitz maps, or equivalently transposition factorisations in symmetric groups. We study a regime in which the number of factors in the underlying factorisations grows linearly with the order of the group, and the corresponding maps are of high genus. We prove that the limiting behaviour exhibits a new, twofold, phenomenon: the first part becomes very large, while the rest of the partition has the standard Vershik-Kerov-Logan-Shepp limit shape. As a consequence, we obtain asymptotic estimates for unconnected Hurwitz numbers with linear Euler characteristic, which we use to study random Hurwitz maps in this regime. This result can also be interpreted as the return probability of the transposition random walk on the symmetric group after linearly many steps